考虑含参积分 \(I(t)=\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}e^{-tx}\,dx\)，对 \(t\) 求导。

\(I'(t)=-\int_0^\infty e^{-tx}\sin x\,dx=-\frac{1}{1+t^2}\)，且 \(I(\infty)=0\)。

于是 \(I(t)=\frac{\pi}{2}-\arctan t\)，令 \(t\to0^+\)（需论证一致收敛以交换极限与积分）即得 \(I(0)=\frac{\pi}{2}\)。另一种方法：在复平面上对 \(\frac{e^{iz}}{z}\) 沿带缺口的上半圆周积分，用 Jordan 引理。

在 \([-\pi,\pi]\) 上将 \(f(x)=x^2\) 展开为傅里叶级数（见实验 03）。

\(x^2=\frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n\ge1}\frac{(-1)^n}{n^2}\cos nx\)，代入 \(x=\pi\)。

令 \(x=\pi\)：\(\pi^2=\frac{\pi^2}{3}+4\sum\frac1{n^2}\)，故 \(\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}\)。欧拉最初的“证明”是比较 \(\frac{\sin x}{x}=\prod_{n}\left(1-\frac{x^2}{n^2\pi^2}\right)\) 与泰勒级数中 \(x^2\) 的系数 —— 后来由 Weierstrass 分解定理严格化。

\(\begin{pmatrix}F_{n+1}\\F_n\end{pmatrix}=A^n\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\)，特征值满足 \(\lambda^2=\lambda+1\)。在实验 07 中选“斐波那契”看看它的特征向量！

\(\varphi=\frac{1+\sqrt5}{2},\ \psi=\frac{1-\sqrt5}{2}\)，得 Binet 公式 \[F_n=\frac{\varphi^n-\psi^n}{\sqrt5}.\]